Hace unos días estaba repasando con mi hijo sus apuntes de introducción a las matrices de la asignatura de álgebra lineal (primer curso de grado). Pasamos con cierta rapidez por las habituales cuestiones relativas a tipos de matrices y operaciones con matrices, hasta que llegamos a la definición de matriz inversa. Por supuesto, era la usual: si A es una matriz cuadrada entonces su inversa, si existe, es la matriz B que multiplicada por A en los dos posibles órdenes da la identidad, es decir, AB=BA=I. Entonces, me preguntó:
¿Es posible encontrar un ejemplo en el que AB=I pero BA≠I?
Rápidamente le contesté que no y que su pregunta era muy interesante porque ponía de manifiesto que ese requerimiento en la definición de inversa era superfluo. No obstante, me di cuenta de que todos los argumentos que se me ocurrían para demostrar que AB=I implica BA=I recurrían a conceptos (determinantes, rango, sistemas de ecuaciones, etc.) que aún no se habían introducido. ¿Es posible demostrar esa implicación sólo a partir de la definición de producto de matrices? Supuse que, si los profesores (y los libros) optábamos mayoritariamente por la definición redundante de inversa era porque tal demostración no sería sencilla. Mi sospecha se vio reforzada cuando encontramos fácilmente un ejemplo de matrices no cuadradas (que incluimos en esta entrada) para las que AB=I pero BA no es igual a la identidad. Descarté pues una prueba directa (la típica demostración basada en multiplicar por la derecha o la izquierda la igualdad AB=I por una matriz adecuada para llegar a BA=I).
Naturalmente, mi hijo consultó la duda con el oráculo ChatGPT. Lo que nos contó no nos sacó de apuros: trivialidades y cuestiones que ya conocíamos. Ya puestos, sugerí una búsqueda en internet más sutil y… Hace 15 años alguien formuló la misma pregunta en el foro Mathematics Stack Exchange. En ese largo período, se han dado literalmente decenas de respuestas que podéis ver en el enlace:
https://math.stackexchange.com/questions/3852/if-ab-i-then-ba-i
Muchas de las respuestas publicadas en el foro son las demostraciones típicas que mencionábamos antes. Otras utilizan conceptos aún más sofisticados para probar generalizaciones o extensiones. Pero, por ahí en medio, encontré exactamente lo que quería:
- Helmut (https://math.stackexchange.com/users/540853/helmut), If AB=I then BA=I, URL (version: 2022-02-03): https://math.stackexchange.com/q/2887163
En esta entrada, tras recordar las definiciones básicas, reproducimos básicamente esa demostración, con pequeños detalles añadidos y algunos ejemplos de nuestra cosecha.
Matrices
Una matriz real de orden n x m es un conjunto formado por nm números reales dispuestos en una tabla con n filas y m columnas.
Las matrices cuadradas do orden n son aquellas que tienen n filas y n columnas.
Producto de matrices
El producto AB de dos matrices A y B sólo se puede calcular si el número de columnas de A coincide con el número de filas de B.
Observemos que no es posible calcular el producto BA, ya que B tiene 3 columnas y A dos filas. De hecho, para que ambos productos AB y BA se puedan calcular A∈Mn×m(R) y B∈Mm×n(R), en cuyo caso AB∈Mn×n(R) y AB∈Mm×m(R). En particular, si A y B son matrices cuadradas de orden n entonces AB y BA también son matrices cuadradas de orden n.
Al multiplicar matrices es importante tener en cuenta que, aunque sea posible calcular los dos productos AB y BA, estos no tienen porque coincidir. Ciertamente, si A y B no son cuadradas AB y BA son matrices de diferente orden. El siguiente ejemplo muestra dos matrices cuadradas A y B, del mismo orden, para las cuales AB≠BA. Por tanto, el producto de matrices cuadradas del mismo orden no cumple la propiedad conmutativa.
Dos matrices cuadradas A,B∈Mn×n(R) conmutan si AB=BA. Es fácil ver que la matriz identidad conmuta con cualquier otra matriz cuadrada. Si A∈Mn×n(R) entonces AIn= InA= A.
Inversa de una matriz
Una inversa de la matriz cuadrada A es cualquier matriz B que al multiplicarla por la derecha con A da la identidad.
Definición 2. Sea A∈Mn×n(R). Una matriz B∈Mn×n(R) es inversa de la matriz A si AB= In.
Fijémonos, en primer lugar, en que no todas las matrices cuadradas tienen inversa.
Nuestro objetivo es probar que si una matriz cuadrada admite una inversa entonces conmuta con ella y que, como consecuencia, una matriz sólo puede tener una inversa.
Matriz e inversa conmutan
Estamos en condiciones de formular y demostrar el resultado que perseguimos: si B es una inversa de A entonces ambas matrices conmutan.
Demostración: Si n=1 entonces A=(a), B=(b) e I1=(1), donde a y b son números reales. Por tanto, AB=(ab)=(1) implica directamente que BA=(ba)=(1).
Es importante destacar que si A y B no son matrices cuadradas el resultado enunciado en la proposición 3 no es cierto.
Para finalizar, veamos que si una matriz es inversa de otra entonces es la única inversa.
Proposición 4. Sea A∈Mn×n(R). Si AB= In y AC= In entonces B=C.
Demostración: Supongamos que existen matrices B,C∈Mn×n(R) que son inversas de A∈Mn×n(R), es decir, AB=AC= In. Por la proposición 3 sabemos que A conmuta con B y con C, por tanto AB=BA=In y AC=CA=In. Entonces, multiplicando por la izquierda la igualdad AB= In por la matriz C,
C(AB) = CIn <-> (CA)B= C <-> InB= C <-> B= C.
Luego, en efecto, B y C son la misma matriz.
En definitiva, la inversa de una matriz A∈Mn×n(R), si existe, es la única matriz B∈Mn×n(R) tal que AB=BA=In. Habitualmente, la matriz inversa de A se denota por B= A−1.